DISTRIBUCIÓN NORMAL

Uno de los más importantes ejemplos de una distribución de probabilidad continua, es la distribución normal, curva normal o distribución de gauss.

La distribución Normal fue descubierta en el siglo XVIII, primordialmente por astrónomos, quienes observaron con asombro, como las mediciones repetidas una y otra vez de una cantidad (masa. Distancia, peso, estatura) tendían a variar, y que al recopilar  una gran cantidad de estas mediciones en una distribución de frecuencias se tenía un perfil semejante a una campana.

Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización de la curva normal para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organización.

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

1. La curva normal es ACAMPANADA y presenta un solo pico en el centro de la distribución. La Media (aritmética) está localizada en el pico, de esta forma, la mitad del área bajo la curva se encuentra por arriba de este punto central y la otra mitad por abajo.
2. La distribución normal es SIMÉTRICA con respecto a su media, si se corta la curva normal verticalmente en este valor central, las dos mitades se reflejaran como imágenes en un espejo.
3. La distribución de la normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central.  Es ASINTÓTICA lo cual significa que la curva se acerca cada vez más al eje X pero en realidad nunca llega a tocarlo.

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Distribución normal estándar  N(0, 1)

La distribución normal estándar o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0,1).

Cálculo de probabilidades en distribuciones normales

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.

Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).

Φ(k) = P(z ≤ k)

Búsqueda en la tabla de valor de k

Unidades y décimas en la columna de la izquierda.

Centésimas en la fila de arriba.

P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

P(a < Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P(−b < Z ≤ −a) = P(a < Z ≤ b)

Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K.

 

P(−a < Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

p = K

Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.

 

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg.  Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 75 kg.

2. Más de 90 kg.

3. Menos de 64 kg.

4. 64 kg o menos.

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

2. Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

3. Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110. 

2. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

 

3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

Distribución Normal (VIDEO)

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.     Hallar el área bajo la curva normal en cada uno de los siguientes casos, utilizar la tabla

1. A la izquierda de Z = -0.6
2. A la derecha de Z = -1.28
3. A la derecha de Z = 2.05 y a la izquierda de Z = -1.44

2.     Determinar el valor o valores de Z en cada uno de los siguientes casos, donde el área dada se refiere a una curva normal.

1. El área entre 0 y Z es 0.3770
2. El área a la izquierda de Z es 0.8621

3.     Hallar el área bajo la curva de la normal.

1. Entre un valor de Z = 0.25 y Z = 2.37
2. Entre un valor de Z = -1.84 y Z = -0.86
3. Entre un valor de Z = -1.33 y Z = 2.08
4. Para valores por encima de Z = 1.85
5. Para valores por debajo de Z = - 1.12
6. Para valores por debajo de Z = 2.96 y a la vez por encima de Z = 0.5

4.     La media de un grupo de ingresos semanales con distribución normal para un gran conjunto de gerentes de nivel medio es $1000 (Dólares) y la desviación estándar es de $100. ¿Cuál es el área bajo la curva bajo la curva de normal entre $1000 y $1100

5.     Refiérase al problema anterior

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un ingreso semanal especifico seleccionado al azar este entre $790 y $1000?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso sea menor de $790

6.     Una población normal tiene una media de 20 y una desviación estándar de 4

1. Calcule el valor de Z asociado a 25
2. Qué porcentaje de la población está entre 20 y 25
3. Qué porcentaje de la población es menor que 18

7.     Una población normal tiene una media de 12.2 y una desviación estándar 2.5.

1. Calcule el valor de Z asociado a 14.3
2. Qué porcentaje de la población está entre 12.2 y 14.3
3. Qué porcentaje de la población es menor de 10

8.     Un estudio reciente de los sueldos por hora de la tripulación de mantenimiento para aerolíneas importantes mostró que el salario promedio por hora era de $16.50 dólares, con una desviación estándar de $3.50. si selecciona al azar un elemento de la tripulación ¿Cuál es la probabilidad de que gane:

1. Entre 16.50 y 20.0 por hora
2. Más de 20.0 por hora
3. Menos de 15.0 por hora

9.     La media de una distribución normal es 400 libras. La desviación estándar vale 10 libras.

1. Qué valor tiene el área entre 415 libras y la media 400 libras.
2. Y el área entre la media y 395 libras.
3. Cuál es la probabilidad de seleccionar un valor al azar y descubrir que está por debajo de 395 libras.

10.  Considerando de nuevo el ejemplo de los ingresos semanales (media = $1.000, desviación estándar = $100), ¿Qué porcentaje de los ejecutivos tiene ingresos por semana de $1.245 o más?

11.  Una población normal tiene una media de 50 y una desviación de 4.0

1. Calcule la probabilidad de un valor entre 44 y 55
2. Evalué la probabilidad de uno mayor de 55
3. Obtenga la probabilidad de uno entre 52 y 55

12.  Una población normal tiene una media de 80 y una desviación estándar de 14

1. Calcule la probabilidad de un valor entre 75 y 90
2. Halle la probabilidad de un valor de 75 o menor
3. Estime la probabilidad de un valor entre 55 y 70

13.  Una máquina expendedora de refrescos se ajusta para servir 7 onzas del liquido por vaso. La desviación estándar es de 0.10 onzas. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina sirva:

1. Entre 7.10 y 7.25 onzas de refresco.
2. 7.25 onzas y más.
3. Entre 6.8 y 7.25 onzas.